Transformasi Laplace

Transformasi Laplace adalah sebuah teknik integral yang digunakan secara luas dalam matematika dan rekayasa untuk menganalisis sistem linear. Transformasi ini mengubah fungsi waktu (dalam domain waktu) menjadi fungsi kompleks (dalam domain frekuensi), sehingga memudahkan penyelesaian persamaan diferensial. Transformasi ini diperkenalkan oleh Pierre-Simon Laplace, seorang matematikawan asal Prancis, pada abad ke-18.

Definisi Matematis

Transformasi Laplace dari sebuah fungsi f(t), dengan t ≥ 0, didefinisikan sebagai L{f(t)} = ∫₀^∞ e^{-st} f(t) dt, di mana s adalah bilangan kompleks. Definisi ini memungkinkan analisis yang lebih mudah terhadap sistem dinamis dan kontrol.

Aplikasi dalam Rekayasa

Transformasi Laplace sangat penting dalam bidang teori kontrol, elektronika, dan pemrosesan sinyal. Dengan transformasi ini, persamaan diferensial yang rumit dapat diubah menjadi persamaan aljabar, sehingga lebih mudah untuk dianalisis dan diselesaikan.

Hubungan dengan Transformasi Lain

Transformasi Laplace berkaitan erat dengan transformasi Fourier, namun berbeda dalam hal penggunaan fungsi eksponensial teredam. Transformasi Laplace juga dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah dengan kondisi awal yang tidak nol, yang sering dijumpai dalam sistem fisis.